
\chapter{CES效用函数探秘}\label{CES}
一般CES效用函数喜欢写成，
\[ U=\left[\int_{\omega\in\Omega}q(\omega)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}d\omega\right]^{\frac{\sigma}{\sigma-1}} \]
把积分符看成求和，会极大帮助理解。
\section{需求函数的推导}
消费者最优规划如下，
\begin{align*}
\max_{q_i}\;\;&\left(\sum_{i=1}^{N}q_i^\rho\right)^{\frac{1}{\rho}}\\
s.t.\;\;& \sum_{i=1}^Np_iq_i=E
\end{align*}

一阶条件为，
\[ \left(\sum_{i=1}^{N}q_i^\rho\right)^{\frac{1}{\rho}-1}q_i^{\rho-1}=\lambda p_i \]

根据我们的推导习惯，此时就是结合约束条件一起搞掉$ \lambda $。但此时搞掉$ \lambda $要用点小技巧。注意到，对于商品$ i $上述一阶条件成立，对于商品$ j $上述一阶条件也是成立的，让它们相互除一下，就可以搞掉$ \lambda $，得到，
\begin{equation}\label{demand}
 \left(\frac{q_i}{q_j}\right)^{\rho-1}=\frac{p_i}{p_j} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{q_i}{q_j}=\left(\frac{p_i}{p_j}\right)^{\frac{1}{\rho-1}}
\end{equation}

为了利用预算约束，再将上式两边同乘以$ p_i/p_j $，得到，
\begin{align*}
 \frac{p_iq_i}{p_jq_j}&=\left(\frac{p_i}{p_j}\right)^{\frac{\rho}{\rho-1}}\\
 \Longrightarrow p_iq_i &= \left(\frac{p_i}{p_j}\right)^{\frac{\rho}{\rho-1}} p_jq_j\\
 \Longrightarrow E &= \sum_{i=1}^Np_iq_i = \sum_{i=1}^N\left[\left(\frac{p_i}{p_j}\right)^{\frac{\rho}{\rho-1}} p_jq_j\right]=\sum_{i=1}^N\left[p_i^{\frac{\rho}{\rho-1}} p_j^{\frac{-1}{\rho-1}}q_j\right]\\
 \Longrightarrow q_j &= \frac{Ep_j^{\frac{1}{\rho-1}}}{\sum_{i=1}^Np_i^{\frac{\rho}{\rho-1}}}
\end{align*}

如果我们再定义一个价格指数为，
\[ P=\left(\sum_{i=1}^N p_i^{\frac{\rho}{\rho-1}}\right)^{\frac{\rho-1}{\rho}} \]
则，
\begin{equation}\label{ces_q}
 q_j = \frac{Ep_j^{\frac{1}{\rho-1}}}{P^{\frac{\rho}{\rho-1}}} 	
\end{equation}


这就是需求函数。
\section{价格指数}
价格指数可以简单的记忆如下，“小$ p $的指数之和等于大$ P $的指数”。特别地，将需求函数\eqref{ces_q}式代入前面最优规划的目标函数，会得到间接效用函数。将此间接效用函数化简会得到，
\[ V = \frac{E}{P} \]

这意味着，(最大化)效用的价格为$ P $。给定收入$ E $，$ P $代表的是你的福利水平。$ P $越低，可以获得更大的效用。



\section{其他说明}
\subsection{常替代弹性的由来}
注意到\eqref{demand}式可以推出，
\[ \frac{d\left(\ln \frac{q_i}{q_j}\right)}{d\left(\ln \frac{p_i}{p_j}\right)}= \frac{1}{\rho -1}\]

它表达的就是相对价格变化百分之一，相对需求量变化百分之几。可以看到这是一个常数，这就是常替代弹性的由来。
